无穷

假如一个酒店有很多房间, 每一个都住满了客人, 这时你去酒店问, 还能给我安排一间房子吗? 老板一定说: 「对不起, 所有的房间都住上了客人, 没有办法安排您了. 」

但是, 如果你去一家拥有无限多个房间的旅馆, 情况可能就不同了. 虽然所有的房间均已客满, 但是老板还是能帮你「挤出」一间空房的.

他只要这样做就可以了. 他对服务生讲, 将原先在1号房间的客人安排到2号房间, 将2 号房间原有的客人安排到3号房间, 以此类推, 这样空出来的1号房间就可以给你了. 类似的, 如果来了十个、八个人, 也可以用这种方式安排进「已经满客」的酒店.

接下来的问题来了, 既然每个房间都被现有的客人占据了, 怎么又能挤下新的客人? 因此我们说这是悖论. 但是「旅馆悖论」其实并不是真正意义上的数学悖论, 它仅仅是与我们直觉相悖而已.

在我们的直觉中, 每个房间都被占据, 和无法再增加客人是等同的, 但这只是在有限的世界里的等价性, 在无穷大的世界里, 数学中的很多逻辑都需要重新梳理一遍. 我们在有限的世界里得到的很多结论, 放到无穷大的世界里, 需要重新检验, 有些能够成立, 有些不成立.

比如说在有限的世界里, 一个数加上1就不等于这个数了, 因为比它大1, 但是在无穷大的世界里, 这条结论就不成立, 因为无穷大加1还是无穷大, 就如酒店悖论中的那个酒店一样, 再增加一个客人, 酒店依然能够容纳得下.

1. 悖论一(二分法悖论): 从A点到B点是不可能的.
2. 悖论二(阿喀琉斯悖论): 阿喀琉斯追不上乌龟.
3. 悖论三(飞箭不动悖论): 射出去的箭是静止的.
4. 悖论四(基本空间和相对运动悖论): 两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离.

1. 不是零;
2. 绝对值小于任何一个给定的数.

1. 一个有限的数;
2. 无穷大;
3. 无穷小.

无穷小能不能等于零

微积分的意义: 让人类的认知从静态或宏观变化进入到把握瞬间动态变化和加速变化.

某个时代发现的危机, 同时代的人常常是想不清楚的, 需要后面的人发展新理论来解决.