当今的七大千禧年数学难题

庞加莱猜想讲的是任何一个单连通的、封闭的三维形体, 等价于一个三维的球. 所谓连通、封闭就是形体表面任何两个点可以沿着表面的一条线连起来, 所谓单连通, 就是指不像甜甜圈那样中间被掏空.

我们日常生活中遇到的大部分三维形体都是这样的, 比如球、圆柱、长方体、三棱锥、没有把的杯子、馒头、棒球棒等等. 当然, 甜甜圈、铁环、拧成了八字形的麻花, 都不是.

庞加莱猜想说的是, 这些单连通的封闭三维形体, 你把它揉揉捏捏, 就成了一个球. 这就是图中前五个形状到球的对应. 但是像甜甜圈, 你怎么揉也揉不成球, 因为中间的「缝」捏不掉. 因此, 图中后面两个形状对应不到球上.

庞加莱猜想在我们看来显然是很正确的, 但是在数学上, 只有公理是显然的, 其他任何结论都要经过证明得出, 有些时候, 越是显然的结论越难证明. 在庞加莱猜想被提出之后的几十年里, 世界上有很多数学家试图解决这个结论看似明确的猜想, 但是都一无所获.

直到上个世纪60年代, 才由美国数学家斯梅尔解决了这个问题的高维(5维)变种, 这个变种比原来的问题要容易很多, 但是对这些简单却相似问题的研究还是给后人带来了启发. 斯梅尔因此获得了1966年的菲尔兹奖和随后的沃尔夫奖.

1983年, 美国数学家弗里德曼证明了庞加莱猜想的4维变种, 并且也获得了菲尔兹奖. 在证明这个猜想的过程中, 还有数名数学家做出了很大的贡献, 获得了菲尔兹奖, 但是他们其实离猜想的证明还有很长的距离.

2003年, 俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了对庞加莱猜想的证明. 佩雷尔曼可以讲是这个世纪数学界的神人. 他在俄罗斯接受的教育, 后来在美国的几所大学里做博士后, 大约攒下了10万美元, 他觉得这点钱他一辈子就够花了, 于是就回到俄罗斯去证明庞加莱猜想了. 他住在妈妈的福利公寓里, 每月只花400美元吃饭, 然后就把所有的时间用来研究数学了.

2003年, 他在一个叫arXiv的网站上贴出了自己对这个定理的完整证明, 这个网站是科学家们提交预发表论文的地方. 由于佩雷尔曼的文字极为简略, 数学界经过近三年才完成校验. 2006年, 多组研究者先后发表论文阐释了佩雷尔曼的成果, 并认定其无误.

当然, 很多数学家还是没有看懂, 质疑他证明过程的正确性, 佩雷尔曼从来不解释他的证明, 只是直接怼回去, 说你们这些人水平太低. 凡是被他怼的数学家, 后来都不得不离开了数学界.

由于佩雷尔曼解决了这个百年数学难题, 国际数学家大会决定授予他菲尔兹奖, 但他却表示拒绝领奖. 当时的国际数学家大会主席约翰·波尔爵士为了说服他接受这个奖, 专门飞到圣彼得堡, 花了两天时间和他谈了十个小时, 最后也没能说服他.

通常得到菲尔兹奖就很牛了, 但是敢于拒绝领奖更牛, 不过国际数学家大会还是给了他这个奖. 2010年3月18日, 千禧年大奖正式颁发给佩雷尔曼, 但是几乎身无分文的他又一次拒绝领取克雷数学研究所的百万奖金. 根据俄罗斯国际文传电讯社的消息, 佩雷尔曼认为美国数学家理查德·汉密尔顿对这一问题的贡献丝毫不逊于自己, 因此不愿意独占这个奖项.

总之, 佩雷尔曼以他天才的头脑, 巨大的数学成就和乖张的行为, 成为了当今数学家一道风景线. 不过, 我倒认为, 在佩雷尔曼心中, 解决那些数学难题比得奖和获得金钱要重要得多.

那么庞加莱猜想有什么意义呢? 简单地讲, 它可以让我们更好地理解三维世界. 比如我们如何在不到达外太空的情况下证明地球是圆形的呢? 有人说麦哲伦的船队航海一周又回到了原点, 说明它是圆的. 其实这不一定, 因为如果地球是甜甜圈的形状, 航海一周也会回到原点.

庞加莱猜想是拓扑学发展的一个拦路虎, 这个问题解决了, 就相当于给数学奠定了一块重要的基石, 往上能建立起一个个大房子.

庞加莱猜想是迄今为止唯一被解决的千禧问题, 接下来我们说说其它千禧问题.

这个问题对于搞计算机的人来讲非常熟悉, 它其实反映出解决一个问题的难度和验证一个答案的难度之间的差别. 我们知道, 通常前者要比后者难很多. 正是因为这种不对称性, 才使得我们在得到密码后, 解密要比不知道密码时破译容易得多.

NP这两个字母代表非多项式的意思, 在计算机科学中, 有很多问题至今没有找到不超过多项式复杂度(即O(N^k))的算法, 但是如果你给出答案, 我们有算法可以在多项式复杂度的时间内验证答案的正确性.

因此, 人们就不禁要问自己, 这些问题是不存在多项式复杂度的算法呢, 还是说仅仅是我们现在没有找到?

你如果回顾我们前面讲到过的希尔伯特第十问题, 会发现它们在表述上的相似性. 如果 NP问题的答案是否定的, 即那些问题不存在多项式复杂度的算法, 那么今天基于公开密钥的所有加密算法从原理上讲都是安全的, 不会因为出现什么量子计算而变得不安全, 因为验证总是比破解来得简单, 道高一尺, 魔总是高一丈. 但如果答案是肯定的, 那就糟糕了, 因为人们可能找到和验证密码同等难度的破译算法.

2001年, 一项针对100名数学和计算机科学家的调查结果显示, 有61人相信答案是否定的. 2012年重复这个调查, 结果是84%的受访人相信答案是否定的. 我本人也是持这种观点.

这也是一个尚未被解决的希尔伯特问题, 2017年, 英国著名数学家阿蒂亚爵士宣称解决了黎曼猜想, 后来被证明是一个大乌龙.

大家对这个问题的含义不必太在意. 对于这个问题需要强调两点:

首先, 这是由杨振宁先生和他的学生米尔斯共同提出的, 今天它又被称为杨-米尔斯理论, 它是对狄拉克电动力学理论的完善. 经典的杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程, 也被称为杨-米尔斯方程. 上述千禧问题是要证明杨-米尔斯方程组有唯一解. 而这个问题的解决, 关乎到理论物理学的数学基础, 或者说能否有一个在数学上完整的量子规范场论.

其次, 物理学家们普遍相信这个问题的答案是肯定的, 而且已经有物理学家基于这个理论开展工作获得了诺贝尔奖. 但是这个问题的解决前景非常不乐观, 数学界普遍认为这个问题太难了. 杨振宁先生的这个理论, 重要性其实一点不亚于他获得诺贝尔奖的工作. 这个问题如果在杨先生有生之年被证明, 他有大概率再次获得诺贝尔奖.

这是一个流体力学的问题. 它的意义也就不言而喻了.

这其实是一个椭圆曲线问题, 椭圆曲线是数论研究的重要领域, 我们前面讲到的安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明用到的主要工具就是椭圆曲线. 事实上, 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陈述就是由怀尔斯写的. 今天的比特币加密, 也是利用椭圆曲线验证解和求解在时间上的不对称性实现的. 因此, 这个问题有非常明确的应用场景.

从这七个问题我们可以看出, 今天即使是最理论的纯数学研究, 其实和当前人类面临的很多实际问题是相关的, 比如有三个问题直接和计算机加密有关. 其它的和宇宙学、力学等相关. 因此, 那些看似无用的智力游戏, 其实有大用场.