伽罗瓦和古典数学难题: 难题给我们的启发

在数学上, 希尔伯特一直想做到这一点, 但是后来哥德尔证明这是办不到的. 这带来一个结果, 也就是说, 如果我们在数学内划定一个区域, 这个区域里很可能出现仅仅依靠区域内的知识无法解决的问题. 三大古典数学难题就是如此.

解决这些问题, 就需要更大区域的知识. 打一个比方, 我们在小学, 可能遇到所学内容无法解决的问题, 需要到中学扩大知识范围后, 回过头来解决. 这也就是为什么我们要不断学习的原因.

数学中的每一种工具, 都可以解决很多问题, 并且将很多看似并不相关的难题的共性找出来. 如果没有这些工具, 那些难题即便能解决, 也是靠特定的技巧, 而那些技巧几乎无法用于解决其它问题.

伽罗瓦其实是发明了一套新的工具, 这样一劳永逸地解决了很多问题. 因此, 学习工具, 善用工具, 是学好数学的秘诀, 也是我们平时做其他事情需要具有的能力.

在一个时代, 某些问题之所以显得很难, 是因为它们看似属于当时的知识体系中的问题, 但其实这只是表象. 比如三等分已知角这种问题, 看似和二等分已知角一样, 是一个简单的几何作图题, 但是它其实不是一个在欧几里得几何范围内能够解决的问题.

后来高斯等人虽然意识到它们都是代数题, 但是却也不是初等代数能够解决的问题, 而属于我们今天所说的近世代数才能解决的问题. 这就如同我们在没有阳光的森林里要辨清方位是很难的事情, 但是如果我们能够飞越到500米高的上空, 一切就看得一清二楚了.