数学和逻辑学: 为什么逻辑是一切的基础?

关键: 独立对象

一个事物只能是其本身. 这句大白话背后的含义是, 世界上任何一个个体都是独一无二的. 注意这里说的是个体, 不是群体. 一个事物只能是其本身, 而不能是其他什么事物. 苹果就是苹果, 不会是橘子或者香蕉.

同一律在集合论中特别重要, 集合中的所有元素必须都是独一无二的. 比如我们说整数的集合, 里面只能有一个3, 不能有两个, 如果有两个, 就出错了, 这一点很容易理解. 但是, 在生活中, 很多人自觉不自觉地在违反同一律, 一个最典型的情况就是偷换概念, 具体讲就是把不同含义的概念使用了同一个名称, 达到瞒天过海的目的.

在数学上, 要严格遵守同一律. 为了防止出现违反同一律的情况, 就需要把概念定义得极为精确, 在法律上也是如此. 在生活中, 我和别人沟通时, 我常常会用我的语言复述一下对方的话, 明确我们是在讨论同一件事情, 这一点很重要. 很多时候, 我们和别人沟通中的误解, 就来源于忽视了同一律.

关键: 必有一假

在某个事物的某一个方面(在同一时刻), 不可能既是A又不是A. 我们前面介绍的数学中的反证法, 就是基于矛盾律.

矛盾律「contradiction」一词是由两个词根组合而成的, 前一个词根「contra」是「相反」的意思, 第二个词根「dicti」是「讲话」的意思, 顾名思义, 它就是指讲话的意思相对立.

为了防止大家在使用矛盾律时偷换概念, 逻辑学家们一般强调四个「同一」, 即同一时间、同一方面、同一属性、同一对象, 总之强调的是独一无二的事件.

关键: 必有一真

任何事物在明确的条件下, 都要有明确的「是」或「非」的判断, 不存在中间状态.

比如在数学上, 一个数字, 要么大于零, 要么不大于零, 没有中间状态. 有人可能会说, 等于零不就是中间状态么? 其实大于零的反面并非小于零, 而是不大于零或者说小于等于零, 因此等于零的情况其实就是不大于零的一种.

排中律保证了数学的明确性, 通常我们在数学上使用排中律原则最多的时候, 就是在所谓的排除法或者枚举法中. 当我们排除了一种情况时, 和它相反的情况就一定会发生. 如果有多于两种对立的情况, 我们可以先把所有可能的情况二分, 然后再不断二分, 直到每一个彼此不重复的情况为止.

在计算机科学中, 任何和二分相关的算法, 其逻辑基础都是排中律. 在这种思路的指导下, 1976年, 美国数学家阿佩尔和哈肯借助电子计算机, 证明了四色(地图)定理. 这是图论中一个非常著名的难题, 它说的是在任何地图上, 只要用四种颜色就能够给所有的国家(或者地域)染色, 保证相邻的地域颜色不同.

这个问题的难度在于情况太多、太复杂, 因此数学家们努力了100多年也没有结果. 阿佩尔和哈肯的高明之处在于, 他们用计算机穷举了所有的情况, 然后借助计算机一一证明了各种情况. 而这种证明方法的正确性, 是靠排中律保障的.

关键: 不能独存

很多逻辑学家也把「充分条件律」和上述三个基本原则等同起来, 一同称为逻辑的四个基本原则. 所谓「充分条件律」, 讲的是任何结论都要有充足的理由, 这也就是我们常说的因果原理. 任何数学的推理, 都离不开充分条件律.

充分条件律成立的原因, 在于宇宙中任何事物不能自我解释, 或者说不依赖于其它事物而存在.

比如逻辑学家们经常会讲, 为什么有我呢? 不是天生就有我, 而是因为有我的父母存在. 再比如说, 为什么张三数学成绩好? 是因为他聪明, 老师好, 学校条件好, 或者学习努力而且方法好, 等等, 而不是毫无条件的, 天生数学就好. 当然, 很多时候仅仅一个或几个条件本身还够不成充分条件, 需要上述条件都满足才行.

矛盾律: 两个互相矛盾或者具有上反对关系的命题, 不可能同时为真, 必有一假.

排中律: 两个互相矛盾或者具有下反对关系的命题, 不可能同时为假, 必有一真.

矛盾关系: 不能同时为真, 也不能同时为假, 必然一真一假. 一个为真, 另一个必为假; 一个为假, 另一个必为真, 两者是非此即彼的关系. 比如「今天下雨了」和「今天没下雨」两个命题互为矛盾关系.

上反对关系: 两个命题不能同真, 必有一假, 可以同假. 比如, 命题「所有的花是有毒的」与「所有的花都是无毒的」二者是上反对关系, 它们不可能同时为真的, 但二者可以同假. 由其中一个命题的真, 可以必然推出另一个命题的假. 如, 由「所有的金属都能导电」的真, 可以必然推出「有的金属不能导电」的假. 但由其中一个命题的假, 却不能必然推出另一个命题的真. 如, 由「所有的金属都是固体」的假, 就不能必然推出「有的金属是气体」的真.

下反对关系: 两个命题不能同假, 必有一真, 可以同真. 由其中一个命题的假, 可以必然推出另一个命题的真. 如, 由「有的金属不能导电」的假, 可以必然推出「有的金属能导电」的真. 但由其中一个命题的真, 却不能必然推出另一个命题的假. 如, 由「有的金属是固体」的真, 就不能必然推出「有的金属不是固体」的假.

矛盾律与排中律的区别主要有一下几点:

1. 适用范围不同. 矛盾律与排中律都针对两个互相矛盾的判断, 但矛盾律还针对上反对关系; 而排中律是对下反对关系的.
2. 内容不同. 矛盾律指明「有假」, 即指明两个互相矛盾或具有上反对关系的判断, 不能同真, 必有一假; 而排中律是指明「有真」, 即指明两个互相矛盾或具有下反对关系的判断, 不能同假, 必有一真.
3. 违反要求的错误不同. 矛盾律不遵守规则导致的错误叫「模棱两可」; 而排中律不遵守规则导致的错误叫「两不可」.
4. 实际作用不同. 矛盾律是由真推假; 而排中律是由假推真.

你是女人; 你不是女人; 这两个是互相矛盾的命题. (注意: 「你是女人」的矛盾命题不是「你是男人」)

矛盾律: 你不能既是女人又不是女人, 必有一假, 写成公式就是: -(女人且非女人);

排中律: 你要么是女人要么不是女人, 必有一真, 写成公式就是: 女人 或 非女人;